라카토스의 수학적 지식 성장

반례에는 두 가지 종류가 있습니다. 

원래의 추측을 반박하는 '전면적 반례(global counterexample)'와 부분추측을 반박하는 '국소적 반례(local counterexample)'가 있는데, 전면적 반례에 의해 추측이 비판되었을 때 대응하는 방식에는 여러 가지가 있습니다

(*예제를 제외하고 정리하는 글이므로 설명이 매끄럽지 않은 부분이 있을 수 있습니다.)

 

첫째, 반례를 받아들이고 원래의 추측이 틀렸다고 인정하는 것입니다. 

둘째, 추측은 이미 증명되었기 때문에 증명된 추측은 옳으며 오히려 반례가 잘못되었다고 보고 반례를 배제하여 원래의 추측을 존속시키는 괴물배제법(monster-barring method)입니다. 

예를 들어, 반례로 주어진 입체들은 다면체가 아니라고 주장하는 것입니다. 이외에도, 한 모서리를 공유하고 있는 두 사면체와 한 꼭짓점을 공유하고 있는 두 사면체인 $v-e+f=3$ 이 되는 두 반례들을 들 수 있습니다. 

괴물배제법에서의 주된 관심은 추측을 개선하는 것이 아니라, 반례(괴물)을 성가시지 않게 추측이 성립하는 영역 밖으로 몰아내는 것입니다. 

따라서, 이 두 반례들을 제거하기 위해, '다면체는

(1) 모든 모서리에서 꼭 두 개의 다각형이 만나고 

(2) 꼭짓점을 지나지 않는 길을 통하여 임의의 다각형 내부로부터 다른 다각형의 내부로 갈 수 있도록 배열된 다각형 체계'

라고 정의합니다. 

한 마디로, 괴물배제법은 추측에 포함된 개념들(다면체 또는 다면체를 정의하는 용어들, 개념들)을 다시 정의하여, 반례(괴물)를 추측이 성립하는 영역 밖으로 몰아내고, 추측을 살리는 방법입니다. 

이렇게 되면 다면체의 정의가 쟁점이 되고 결국 용어가 처음보다 정교하게 재정의 됩니다.

 

셋째, '(정육면체 속에 작은 정육면체가 들어 있는 입체와 같은) 공동이나 (구멍이 뚫리 사진들과 같은) 터널이 있는 다면체가 아닌 모든 다면체에 대하여, $V-E+F=2$ 이다' 와 같은 방식으로 추측을 수정하는 방법이 있습니다. 

새로운 반례가 나타날 때마다 예외에 대하여 언급한 조건 절을 첨가하여 안전한 영역으로 철수하는 이러한 방법을 예외배제법(exception-barring  method)이라고 합니다. 

이처럼, 예외배제법에서는 반례가 존재하지 않으며 단지 예외만이 존재할 뿐입니다. 

따라서, 예외배제법은 제기된 반례를 예외로만 인정하고, 주된 추측을 예외가 배제된 안정한 영역으로 한정시켜, 원래의 추측이 성립하는 영역을 축소하여 추측을 개선합니다. 이처럼, 예외배제법은 예외에 대하여 언급한 조건절을 원래의 추측에 첨가하기 때문에 다면체 정의가 축소되지는 않습니다. 

 

그러나 원래의 추측에 타당하지 않는 사례들이 나타날 때마다 추측에 조건절을 첨가하여, 처음의 추측이 성립하는 영역을 계속하여 축소하는 과정을 반복하다 보면, 얻어진 새로운 추측은 처음 추측의 증명(분해)된 부분 추측들과는 동떨어진 다른 추측이 얻어질 수도 있습니다. 

그 결과, 축소된 영역 밖에 반례가 존재하는지, 영역을 더 축소해야 하는지에 대한 진지한 탐구가 이뤄지지 못한 채, 추측들을 만들어 낼 수도 있습니다. 

이와 같이 추측이 타당한 영역으로 추측을 제한하여 개선을 시도하는 것은 과대 또는 과소의 일반화를 초래할 여지도 있지만, 추측을 개선하는 데에 도움을 줄 수 있습니다. 

 

넷째, 반례가 출현하게 된 원인이 되는 부분 추측을 찾아 그것을 원래 추측에 합체시키고 증명을 고치는 방법이 있습니다. 

반례가 출현했을 때, 원래의 추측에 증명의 2단계를 합체하여 원래의 추측을 '대각선에 의해 분할되는 어떤 면도 두 부분으로 되는 (단순 연결인) 다면체에 대하여 $V-E+F=2'로 수정하는 것입니다. 

이를 보조정리합체법(lemma-incorporation method)라고 부릅니다. 

 

보조정리합체법에서는 새로운 추측을 발견하는 과정과 그 추측을 증명하는 과정이 동시에 이루어집니다. 

라카토스 이전에는 수학적 발견의 논리는 귀납이나 유추이고 정당화의 논리는연역적 증명이라는 견해가 일반적이었으나, 라카토스는 발견과 정당화의 논리가 분리되지 않고 하나로 통합된다는 견해를 제시한 것으로 볼 수 있습니다. 

 

괴물배제법	예외배제법	보조정리합체법
-추측은 이미 증명되었기 때문에 추측은 옳으며 오히려 반례가 잘못되었다고 보고 반례를 배제하여 원래의 추측을 존속시키는 방법 -추측에 포함된 개념을 다시 정의하여 반례를 추측이 성립하는 영역 밖으로 몰아내고 추측을살리는 방법 -용어가 처음보다 정교하게 재정의 된다.	-새로운 반례가 나타날 때마다 예외에 대하여 언급한 조건 절을 첨가하여 안전한 영역으로 철수하는 방법 -제기된 반레를 예외로만 인정하고 주된 추측을 예외가 배제된 안정한 영역으로 한정시켜 원래의 추측이 성립하는 영역을 축소하여 추측을 개선. 개념의 정의가 축소되지는 않음. -과대 또는 과소 일반화를 초래할 여지가 있지만 추측을 개선하는 데에 도움을 줄 수 있다.	-반례가 출현하게 된 원인이 되는 부분추측(보조정리)을 찾아 그것을 원래 추측에 합체시키고 증명을 고치는 방법 -보조정리합체법에서는 새로운 추측을 발견하는 과정과 그 추측을 증명하는 과정이 동시에 이루어진다.  -즉 발견과 정당화의 논리가 하나로 통합된다.