APOS Theory - Dubinsky

APOS 이론은 Dubinsky에 의해 제안되었습니다. 

이 이론의 핵심어는 행동(Action), 과정(Process), 대상(Object), 스키마(Schema)로,

APOS는 네 단어의 첫 알파벳을 따라 명명한 것입니다. 

 

이제 이 네 가지 요소가 무엇을 의미하는지 알아보겠습니다. 

 

첫째, 어떤 개념을 익히기 위해서는 우선 대상에 대한 변환을 적용해 보게 되는데, 이러한 낱낱의 변환을 '행동'이라고 합니다. 

 

둘째, 대상에 대한 행동을 반복하면서 반성함으로써 그 행동이 내면화(interiorized) 하나의 정신적인 '과정'이 됩니다. 

'과정'이란 행동이 내면화되면서 동일한 조작을 할 수 있는 정신적 구조가 생긴 상태를 말합니다. 

과정의 상태에서는 각 단계를 명시적으로 의식하지 않고도 변환을 시킬 수 있습니다. 

 

셋째, 과정을 전체적으로 인식하기 시작하면서 과정은 대상화(encapsulated) 하나의 '대상'이 됩니다. 

어떤 것을 capsule에 싸기 위해서는 그것에서 벗어나서 객관적으로 대상화하는 것이 필요합니다. 

 

넷째, 행동, 과정, 대상이 조직화되고 연결됨으로써 하나의 일관성 있는 구조가 되면 '스키마'가 됩니다. 

이 과정을 도식화하면 다음 그림과 같습니다. 

 

 

 

Dubinsky는 무한 개념에 대해서 APOS이론을 적용하였습니다.

우선 자연수를 1,2,3에서 시작하여 $N={1,2,3,...}$ 으로 구성하는 것은 '행동' 단계입니다. 

이런 '행동'이 '내면화'된 '가능적 무한'의 단계는 '과정'에 해당합니다. 

도달할 수 없는 '가능적 무한'이 '대상화'되면 도달할 수 있는 무한의 개념인 '실무한'의 단계가 되며, 이는 '대상'에 해당합니다. 

'대상' 상태인 '실무한'은 그 자체로 완결된 totality를 갖습니다. 

 

함수 개념을 APOS으로 설명할 수도 있습니다.

함수 개념을 습득할 때, 함수식의 변수에 값을 대입해 보는 것, 혹은 정의역의 원소를 공역의 원소로 대응 시키는 것을 '행동'이라고 볼 수 있습니다. 

특정한 값을 입력하고 그에 따라 출력값을 생각하는 각 절차에 얽매이지 않고, 함수를 입력과 출력으로 인식하는 상태가 '과정'입니다. 

이런 '과정'을 대상화하여 함수를 하나의 집합으로 간주하면서 집합에 대한 조작을 하는 것은 함수를 '대상'으로 보는 상태입니다. 

이런 모든 것들은 궁극적으로 함수에 대한 체계적 틀인 '스키마'로 자리잡게 됩니다.