프로이덴탈의 유리수 곱셈과 나눗셈 지도

안녕하세요.

오늘은 프로이덴탈의 관점을 반영하여 두 유리수의 곱셈과 나눗셈을 지도하는 방법에 대해 공부하겠습니다. 

 

중학교에서의 유리수 지도는 프로이덴탈이 제시한 바와 같이 유리수의 대수적인 의미에 따라 다루는 과정을 고려해 볼 필요가 있습니다. 

유리수는 정수에서 나눗셈 연산에 대하여 닫혀 있게 하기 위한 대수적 확장의 산물입니다. 

이를테면 $(-2)÷3=-2/3$ 와 같이 정의됩니다. 

이는 방정식 $3x=-2$ 를 만족하는 대상, 곧 근으로 $-2/3$ 를 정의하는 것과 같습니다. 

 

프로이덴탈은 전형적인 예를 사용하여 유리수를 방정시긔 근으로 도입하고 형식불역의 원리에 따라 기존의 수체계가 갖고 있던 연산법칙을 그대로 유지하면서 분수의 약분과 통분 및 사칙 계산 방법에 대한 의미 있는 관계적 이해가 가능하도록 지도할 수 있을 것이로 보고 있습니다. 

 

이를테면, 유리수 $-2/3$ 는 $3x=-2$ 을 만족하는 대상으로 정의됩니다. 

따라서 유리수의 계산은 형식불역의 원리에 따라 정수에서 성립하는 성질이 유리수에서도 그대로 성립하는 것으로 보고 다음과 같이 정당화될 수 있습니다.

 

이러한 접근 방법은 '알고리즘적 분수'의 의미에 따르는 수학적으로 타당한 방법으로 분수의 분자, 분모에 같은 수를 곱해도 좋다거나, 

분수로 나눌 때에는 뒤집어 곱하는 이유 등을 간단히 설명할 수 있습니다.