선형대수 주요 개념 정리1

안녕하세요? 

이번에는 선형대수의 중요한 부분을 모두 모아 복습해보겠습니다. 

(부분공간, 일차독립, 기저, span, ... etc) 

참고한 교재는 anton의 elementary linear algebra 입니다. 

 

 

1. 행렬(matrix)

가로가 행, 세로가 열 

2*3 이면 아래와 같은 모양입니다. 

우리는 연립방정식의 해를 구하기 위해서 행렬 형태로 바꾸어 계산합니다. 

여기서 오른쪽을 모두 =0으로 만들어놓은 형태를 연립동차방정식이라고 합니다. 

 

 

2. 선두열과 자유열

선두열은 leading 1을 포함하는 열

자유열은 leading 1을 포함하지 않는 열입니다. 

 

3. 가로가 긴 행렬

(행의 개수) < (열의 개수)

 

(행의 개수) = 방정식의 개수 

(열의 개수) = 미지수의 개수 이므로, 

 

당연히 가로가 긴 계수행렬을 가지는 연립동차방정식은 자명하지 않은 해를 가집니다. 

(자유열을 가지기 때문입니다.)

 

자명해(trivial solution)란 $x=0$ 을 말합니다.

 

4. 행렬의 곱(product)

행렬의 곱은 두 행렬이  m*r 과 r*n 의 크기를 가질 때에만 정의되며, 결과 m*n의 크기를 가진 행렬을 얻습니다. 

 

5. 일차결합은 열벡터의 상수배의 합입니다. 

6. 행렬의 거듭제곱은 말 그대로 행렬 $A$를 $A*A*A..$ n번 곱했음을 뜻합니다. 

 

 

 

7. 전치행렬(transpose)

 

m*n 행렬 $A$의 $(i,j)$ 성분을 $(j, i)$ 성분으로 하는 n*m 행렬입니다. $A$위에 T를 써줍니다. 

즉 대각선을 축으로 하여 각 성분을 대칭이동 시키는 것입니다.

 

-전치행렬의 property

 

8. 대각성분, 대각행렬(diagonal matrix)

 

대각성분은 n*n, 정방행렬(square matrix)일 때만 정의됩니다.

9. 가역행렬

 

역행렬이 존재하는 행렬을 가역행렬이라 합니다. 가역행렬은 특별한 성질을 많이 가집니다. 

 

 

 

10. 역행렬 구하는 방법

 

2*2 행렬인 경우 쉽게 구할 수 있습니다. 

n*n 행렬인 경우 inverse algorithm을 사용하는 방법이 있습니다. 

또는 수반행렬, 딸림행렬이라고도 하는 adjoint matrix을 사용하는 방법도 있습니다. 

 

 

11. 역행렬의 성질

 

12. subspace

 

부분공간의 정의는 간단합니다. $W$가 $V$에서의 덧셈과 스칼라배가 정의된다면 $V$의 부분공간입니다. 

부분공간들의 intersection도 부분공간이 됩니다. 

 

 

13. span 

 

14. linear independence (일차독립)

 

 

 

 

일차결합의 coefficient들이 모두 0이 아니면 위의 일차결합이 0이 되지 않을 때 이 벡터들은 일차독립이라고 합니다. 

일차독립이 아니면 일차종속(linear dependent)입니다. 

만약 단 하나라도 0이 아니고 $0,0,0,1,-1,0,0$ 이런 식으로 해가 나오면 일차종속입니다. 모두 0이 되어야 합니다.

 

일차독립일 때, 벡터들은 nonzero입니다.

또 일차독립이면 어느 하나의 벡터도 다른 벡터의 스칼라배로 표현되어서는 안됩니다. 

 

또 벡터가 dimension 보다 많은 갯수를 가진다면, 일차종속입니다. 

 

 

 

 

 

15. 기저(basis)

 

$S$가 $V$의 벡터 $v1, v2, v3, ... , vn$ 유한개 벡터들로 구성되어 있을 때 언제 기저가 되는지 알아보겠습니다. 

 

 

$S$가 $V$를 span하면서 $S$가 일차독립이면, $S$는 $V$의 기저가 됩니다. 

기저표현은 유일성을 가집니다. 즉 한 벡터는 기저들의 일차결합으로 표현할 때 only one way만 가능합니다. 

기저들의 일차결합으로 표현했을 때 앞에 곱해진 coordinates을 모아 $coordinate vector$ 라 합니다.

 

 

16. 차원(Dimension)

유한차원의 기저들은 같은 벡터 개수를 가집니다. 즉 3차원이면 기저가 3개, 2차원이면 기저를 2개 가집니다. 

기저의 개수가 차원보다 더 많으면 일차독립이 깨지게 되고, 더 적으면 벡터공간을 생성(span)할 수가 없게 됩니다. 

따라서 차원은 기저의 갯수로 정의합니다.

 

부분공간에 대한 차원은 다음과 같은 성질을 가집니다. 

 

 

 

17. 기저의 변경 

 

기저는 한 가지 형태만 있는 것이 아니라 여러가지가 있을 수 있습니다. 그렇다면 두 기저 $B$와 $B'$사이에는 어떻게 relate 되어 있는가? 그렇다면 어떤 행렬을 적절히 곱해서 원래의 기저(old basis)에서 새로운 기저(new basis)로 바꿀 수 있을까 하는것이 우리의 질문입니다.  여기서 곱하게 되는 어떤 행렬이 바로 전이행렬 $P$입니다. 

이런식으로 전이행렬(transition matirix)을 써줍니다. 

 

기저의 변경은 잘 까먹고 어렵게 느껴져서 예시까지 정리하겠습니다. 

 

 

문제에서 전이행렬을 찾아보라고 했습니다. 우선 new basis를 old basis으로 다음과 같이 표현 해줍니다. 

지금은 2-dim이라서 눈에 잘 보이지만, 한번에 앞의 coefficient를 찾기 어려울 때는

앞에 $a,b$ 등의 미지수로 두고 연립동차방정식을 풀어서 찾으면 됩니다. 

 

그리고 나서 차례로 아래와 같이 열벡터로 써주고, 열벡터를 하나의 행렬로 합칩니다. 

 

 

이렇게 기저의 변경 예시를 풀었습니다. 

여기서 반대방향의 전이행렬은 굳이 따로 구하지 않고 원래 전이행렬을 inverse 시키면 됩니다.

 

앞에서 n*n행렬의 역행렬 구할 때 사용한 inverse argorithm과 비슷한 방법으로, 전이행렬을 구하는 방법입니다. 

우리가 변경하고 싶은 기저를 앞에 먼저 쓰고, 그 옆에 old basis를 씁니다. 

그리고 RREF가 될 때까지 기본 행연산 합니다. 

그 결과 왼쪽은 기본행렬 $I$가 되고, 오른쪽이 기저 변경을 위한 전이행렬입니다. 

 

 

 

 

여기까지 정리하고, 다음 글에서

18. 행공간, 열공간, 해공간(null space) 부터 알아보겠습니다.