준동형사상과 동형사상, 대입준동형사상의 개념

안녕하세요? 

오늘은 현대대수에서의 군 준동형사상과 동형사상, 그리고 대입준동형사상까지 한번에 정리해보겠습니다. 

프렐라이와 갈리안 책을 참고했습니다. 

 

1. 준동형사상(homomorphism)

 

군에서의 준동형사상의 정의는 다음과 같습니다. 

이와 같이 군에서 군으로 가는 mapping이 정의될 때, 연산을 보존하면 준동형사상(homomorphism)이라고 합니다. 

 

준동형사상에는 다음 예시들이 있습니다.

 

-linear transform

-Evaluation homomorphism 

-projection map

-matrix를 det of matrix으로 보내는 mapping

-vector $v$를 scalar multiple $Av$으로 보내는 mapping

 

증명은 제가 혼자서 했는데 쉬워서 따로 올리지는 않겠습니다. 

 

 

*추가로, homeomorphism에 대해 한번 정리하고 넘어가겠습니다. 

topology에서 등장하는 homeomorphism은 위상동형사상이라고 하는데요.

두 topological spaces(서로 다른 위상공간인지는 모름) $X, Y$가 있을 때 $f: X → Y$으로 정의합니다. 

다음 조건을 만족하면 '$f$는 homeomorphism' 이라고 합니다. 

-$f$는 bijection 

-$f$는 continuous

-invers function $f-1$도 continuous

만약 이러한 조건을 만족시키는 homeomorphism이 두 위상공간 사이에 존재하면,

$X$와 $Y$는 서로 위상동형(homeomorphic)이라고 합니다.  

 

 

 

 

2. 동형사상(Isomorphism)

 

군에서 동형사상의 정의는 다음과 같습니다.

 

 

 

 

 

군의 연산을 보존하면서, one-to-one과 onto를 동시에 만족하는 mapping입니다. 

다시 말해 bijection이 되는 homomorphsim입니다!

두 군이 동형이면 물결모양이 두 개 겹쳐진 기호를 사용하여 나타냅니다.

mapping 그림을 참고로 보면 이해하기 쉬울 것 같습니다. 

 

 

 

 

3. 대입준동형사상 (Evaluation homomorphism)

 

위의 준동형사상의 예시에 포함되어 있는 대입준동형사상(Evaluation homomorphism)은 $x$ 값을 함숫값 $f(x), 즉 상수로 보내주는 mapping입니다. 

 

 

 

 

 

 

이상 준동형사상부터 동형사상, 대입준동형사상 세 가지를 모두 정리 해보았습니다.