Regular curve

안녕하세요? 

앞으로 제 전공 과목 중 하나인 Diff geometry 의 주요 내용도 함께 정리 해보겠습니다.

가장 먼저 regular curve, 정칙곡선에 대해 알아보겠습니다.  모든 figure는 아래 참고자료에서 가져왔습니다. 

 

먼저 parametrized curve(매개화 곡선)에 대해 알아야 합니다.  곡선은 여러가지 형태로 표현이 가능합니다.

만약 매개변수 $t$를 사용하여 곡선 $a$를 다음과 같이 표현했다면 $a$는 매개화된 곡선입니다.

  $a(t)=(a1(t), a2(t), a3(t))$ 

 정칙곡선은 매개변수를 사용하여 표현되는 곡선인 parametrized curve 입니다.

 

Andrew 교재는 derivation의 뜻으로 dot를 사용합니다. 우리가 아는 한번 미분한 도함수와 같습니다.

간단히 말해서 미분 가능한 곡선을 미분하면 속도(velocity)벡터인데, 0이 되는 점을 특이점(singular point) 라고 합니다.

0이 되지 않는 점을 regular point라 합니다. 즉 정칙곡선은 계속해서 움직이는, 속도가 0이 되지 않는 곡선입니다.

*특별한 언급이 없는 이상 함수를 무한번 미분 가능한 것으로 가정합니다. 

 

 

추가로 정칙곡선의 몇 가지 property에 대해 정리하겠습니다.

 

 

 

 

*정칙곡선은 재매개화하더라도 정칙입니다. 

재매개화에 대한 내용은 다음에 또 정리하겠습니다. 

 

 

 

 

 

 

*smooth funtion은 끊어지지 않고 매끄럽게 이어지는 곡선입니다. 정칙곡선이면 호장함수(arc-length)는 항상 smooth 합니다. 

 

 

*unit-speed 는 단위속력 1을 가지고 있다는 뜻입니다.

unit-speed reparametrization을 갖는 매개곡선은 정칙이며 그 역도 성립합니다. 

 

 

[reference]

Elementary Differential Geometry 2nd edition, Andrew Pressley

Elementary Differential Geometry Re2nd edition, B.O'Neill